Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá...

Bất phương trình đã cho tương đương ${{\log }_{2}}(x+y)-{{\log }_{5}}({{x}^{2}}+y)\le 0$ (1)
Xét hàm số $f(y)={{\log }_{2}}(x+y)-{{\log }_{5}}({{x}^{2}}+y)$.
Tập xác định $D=(-x;+\infty )$
Với mọi $x\in Z$, ta có ${{x}^{2}}\ge x$ nên $f'(y)=\dfrac{1}{(x+y)\ln 2}-\dfrac{1}{({{x}^{2}}+y)\ln 5}\ge 0,$ $\forall x\in D$
$\Rightarrow f(y)$ đồng biến trên khoảng $(-x;+\infty )$
Do $y$ là số nguyên thuộc $(-x;+\infty )$ nên $y$ $=-x+k$, $k\in {{Z}^{+}}$
Giả sử $y$ $=-x+k$ là nghiệm của bất phương trình (1) thì $f(y)=f(-x+k)\le 0$
Mà $-x+1<-x+2<...<-x+k$ và $f(y)$ đồng biến trên khoảng $(-x;+\infty )$, suy ra
$f(-x+1)<f(-x+2)<...,f(-x+k)\le 0$, nên các số nguyên $-x+1$, $-x+2$,…, $-x+k$ đều là nghiệm của (1), hay nói cách khác bất phương trình (1) sẽ có $k$ số nguyên $y$ thỏa mãn yêu cầu ứng với mỗi $x$.
Để có không quá 255 số nguyên $y$ thì $f(-x+256)>0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}256-{{\log }_{5}}({{x}^{2}}-x+256)>0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-390369<0\Leftrightarrow \dfrac{1-\sqrt{1561477}}{2}<x<\dfrac{1+\sqrt{1561477}}{2}$
Mà $x\in Z$ nên có 1250 số nguyên $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.