Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 127 số nguyên $y$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}\left({{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log...

Điều kiện: $\{\begin{array}{rl}& x^2+y>0\\ & x+y>0\end{array}.$
Ta có: ${\log }_3(x^2+y)\ge {\log }_2(x+y)\iff x^2+y\ge 3^{{\log }_2(x+y)}$
$\iff x^2+y\ge {(x+y)}^{{\log }_{2}3}$
$\iff x^2-x\ge {(x+y)}^{{\log }_{2}3}-(x+y)\left(1\right).$
Đặt $t=x+y,(t>0)$ thì $\left(1\right)$ trở thành $x^2-x\ge t^{{\log }_{2}3}-t\left(2\right).$
Với mỗi $x$ nguyên cho trước có không quá 127 số nguyên $y$ thỏa mãn bất phương trình $\left(1\right)$ tương đương với bất phương trình $\left(2\right)$ có không quá 127 nghiệm $t$ nguyên dương.
Ta có hàm số $f\left(t\right)=t^{{\log }_{2}3}-t$ đồng biến trên $[1;+\mathrm{\infty })$ nên nếu $x^2-x>{128}^{{\log }_{2}3}-128=2059$ thì sẽ có ít nhất 127 nghiệm nguyên $t\ge 1.$
Do đó yêu cầu bài toán tương đương với $x^2-x\le 2059\iff -44\le x\le 45$ (do $x$ nguyên).
Vậy có 90 số nguyên $x$.