Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 127 số nguyên $y$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}\left({{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+y>0 \\
& x+y>0 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có: ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{2}}\left( x+y \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\ge {{3}^{{{\log }_{2}}\left( x+y \right)}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\ge {{\left( x+y \right)}^{{{\log }_{2}}3}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x\ge {{\left( x+y \right)}^{{{\log }_{2}}3}}-\left( x+y \right)\text{ }\left( 1 \right).$
Đặt $t=x+y,\left( t>0 \right)$ thì $\left( 1 \right)$ trở thành ${{x}^{2}}-x\ge {{t}^{{{\log }_{2}}3}}-t\text{ }\left( 2 \right).$
Với mỗi $x$ nguyên cho trước có không quá 127 số nguyên $y$ thỏa mãn bất phương trình $\left( 1 \right)$ tương đương với bất phương trình $\left( 2 \right)$ có không quá 127 nghiệm $t$ nguyên dương.
Ta có hàm số $f\left( t \right)={{t}^{{{\log }_{2}}3}}-t$ đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$ nên nếu ${{x}^{2}}-x>{{128}^{{{\log }_{2}}3}}-128=2059$ thì sẽ có ít nhất 127 nghiệm nguyên $t\ge 1.$
Do đó yêu cầu bài toán tương đương với ${{x}^{2}}-x\le 2059\Leftrightarrow -44\le x\le 45$ (do $x$ nguyên).
Vậy có 90 số nguyên $x$.