Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi số nguyên $x$ có...

${{3}^{{{y}^{2}}-\left| x-2y \right|}}\le {{\log }_{{{y}^{2}}+3}}\left( \left| x-2y \right|+3 \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{3}^{{{y}^{2}}+3}}}{{{3}^{\left| x-2y \right|+3}}}\le \dfrac{\ln \left( \left| x-2y \right|+3 \right)}{\ln \left( {{y}^{2}}+3 \right)}$
$\Leftrightarrow {{3}^{{{y}^{2}}+3}}\ln \left( {{y}^{2}}+3 \right)\le {{3}^{\left| x-2y \right|+3}}\ln \left( \left| x-2y \right|+3 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}\ln t$ với $t\ge 3$. ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln t.\ln t+\dfrac{{{3}^{t}}}{t}>0,\forall t\ge 3\Rightarrow $ hàm số đb trên $\left[ \left. 3;+\infty \right) \right.$
Ta có: $f\left( {{y}^{2}}+3 \right)\le f\left( \left| x-2y \right|+3 \right)\Leftrightarrow {{y}^{2}}+3\le \left| x-2y \right|+3$ $\Leftrightarrow {{y}^{2}}\le \left| x-2y \right|$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge {{y}^{2}}+2y={{g}_{1}}\left( y \right) \\
& x\le 2y-{{y}^{2}}={{g}_{2}}\left( y \right) \\
\end{aligned} \right.$

Ta thấy $\left[ \begin{aligned}
& 3\le x<8 \\
& x=0 \\
& -8<x\le -3 \\
\end{aligned} \right. $ thì sẽ có đúng $ 5 $ giá trị nguyên của $ y $ với mỗi giá trị nguyên của $ x$.
Vậy có tất cả $11$ giá trị.
${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}.SI.AB=SI.IA\Rightarrow IA=\dfrac{{{S}_{SAB}}}{SI}=\dfrac{360}{\left( \dfrac{9\sqrt{10}}{2} \right)}=8\sqrt{10}$
$r=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 8\sqrt{10} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3\sqrt{10}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{5\sqrt{106}}{2}$
$V=\dfrac{1}{3}.\pi .{{\left( \dfrac{5\sqrt{106}}{2} \right)}^{2}}.6\sqrt{5}=1325\pi \sqrt{5}$