Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho cứ ứng với mỗi $x$ thì mọi giá trị thực của $y$ đều thỏa mãn ${{\log }_{5}}\left( {{y}^{2}}+2xy+2{{x}^{2}}-1 \right)\le 1+{{\log }_{3}}\left( {{y}^{2}}+2y+4 \right).{{\log }_{5}}\left( {{y}^{2}}+4 \right)?$
A. $4$.
B. $7$.
C. $5$.
D. $6$.
A. $4$.
B. $7$.
C. $5$.
D. $6$.
Trước tiên ta phải có ${{y}^{2}}+2xy+2{{x}^{2}}-1>0,\forall y\Leftrightarrow {{{\Delta }'}_{y}}={{x}^{2}}-\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)<0\Leftrightarrow {{x}^{2}}>1$.
Vì bất phương trình đúng với mọi số thực $y$ nên sẽ đúng tại $y=0$. Khi đó :
${{\log }_{5}}\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\le 1+{{\log }_{3}}4.{{\log }_{5}}4\Leftrightarrow 0<2{{x}^{2}}-1\le {{5}^{1+{{\log }_{3}}4.{{\log }_{5}}4}}\Leftrightarrow x\in \left\{ \pm 3;\pm 2 \right\}$
Ngược lại với $x\in \left\{ \pm 3;\pm 2 \right\}$ ta có
$\begin{aligned}
& VP=1+{{\log }_{3}}\left( {{y}^{2}}+2y+4 \right).{{\log }_{5}}\left( {{y}^{2}}+4 \right)=1+{{\log }_{3}}\left[ \underbrace{{{\left( y+1 \right)}^{2}}+3}_{\ge 3} \right].{{\log }_{5}}\left( {{y}^{2}}+4 \right) \\
& \ge 1+{{\log }_{5}}\left( {{y}^{2}}+4 \right)={{\log }_{5}}\left[ 5\left( {{y}^{2}}+4 \right) \right] \\
\end{aligned}$
Và $5\left( {{y}^{2}}+4 \right)-\left( {{y}^{2}}+2xy+2{{x}^{2}}-1 \right)=4{{y}^{2}}-2xy-2{{x}^{2}}+21=\underbrace{{{\left( 2y-\dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}_{\ge 0}+\underbrace{21-\dfrac{9{{x}^{2}}}{4}}_{\ge 0,\forall x\in \left\{ \pm 3;\pm 2 \right\}}>0$
Vậy tất cả các giá trị $x\in \left\{ \pm 3;\pm 2 \right\}$ đều thỏa mãn.
Vì bất phương trình đúng với mọi số thực $y$ nên sẽ đúng tại $y=0$. Khi đó :
${{\log }_{5}}\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\le 1+{{\log }_{3}}4.{{\log }_{5}}4\Leftrightarrow 0<2{{x}^{2}}-1\le {{5}^{1+{{\log }_{3}}4.{{\log }_{5}}4}}\Leftrightarrow x\in \left\{ \pm 3;\pm 2 \right\}$
Ngược lại với $x\in \left\{ \pm 3;\pm 2 \right\}$ ta có
$\begin{aligned}
& VP=1+{{\log }_{3}}\left( {{y}^{2}}+2y+4 \right).{{\log }_{5}}\left( {{y}^{2}}+4 \right)=1+{{\log }_{3}}\left[ \underbrace{{{\left( y+1 \right)}^{2}}+3}_{\ge 3} \right].{{\log }_{5}}\left( {{y}^{2}}+4 \right) \\
& \ge 1+{{\log }_{5}}\left( {{y}^{2}}+4 \right)={{\log }_{5}}\left[ 5\left( {{y}^{2}}+4 \right) \right] \\
\end{aligned}$
Và $5\left( {{y}^{2}}+4 \right)-\left( {{y}^{2}}+2xy+2{{x}^{2}}-1 \right)=4{{y}^{2}}-2xy-2{{x}^{2}}+21=\underbrace{{{\left( 2y-\dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}_{\ge 0}+\underbrace{21-\dfrac{9{{x}^{2}}}{4}}_{\ge 0,\forall x\in \left\{ \pm 3;\pm 2 \right\}}>0$
Vậy tất cả các giá trị $x\in \left\{ \pm 3;\pm 2 \right\}$ đều thỏa mãn.
Đáp án A.