Có bao nhiêu số nguyên $m$ thỏa mãn $\dfrac{\ln x}{x+1}+\dfrac{1}{x}\ge \dfrac{\ln x}{x-1}+\dfrac{m}{x}\forall x>0,x\ne 1$

Phương pháp:
Cô lập $m,$ đưa bất phương trình về dạng $m\le g\left( x \right)\forall x>0\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right).$
Cách giải:
Ta có:
$\dfrac{\ln x}{x+1}+\dfrac{1}{x}\ge \dfrac{\ln x}{x-1}+\dfrac{m}{x}\forall x>0,x\ne 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{\ln x}{x+1}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{\ln x}{x-1}\ge \dfrac{m}{x}\forall x>0,x\ne 1$
$\Leftrightarrow \ln x\left( \dfrac{x}{x+1}-\dfrac{x}{x-1} \right)+1\ge m\forall x>0,x\ne 1$
$\Leftrightarrow \ln x.\dfrac{{{x}^{2}}-x-{{x}^{2}}-x}{{{x}^{2}}-1}+1\ge m\forall x>0,x\ne 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{-2x}{{{x}^{2}}-1}.\ln x+1\ge m\forall x>0,x\ne 1\left( * \right)$
Đặt $g\left( x \right)=\dfrac{-2x}{{{x}^{2}}-1}.\ln x+1$ ta có $m\le g\left( x \right)\forall x>0,x\ne 1.$
Sử dụng MTCT ta vẽ được BBT hàm số $g\left( x \right)$ như sau:

$\Rightarrow \left( * \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\le 1.$
Vậy có vô số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán