Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right)$ có nghiệm?

Đặt $t={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right)$. Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}+2m={{3}^{t}} \\
& {{3}^{x}}-{{m}^{2}}={{5}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2m+{{m}^{2}}={{3}^{t}}-{{5}^{t}}$
$\Rightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1$. $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1$.
Ta có ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3-{{5}^{t}}\ln 5=0\Leftrightarrow t={{\log }_{\frac{3}{5}}}\left( {{\log }_{3}}5 \right)={{t}_{0}}$.
$\underset{t\to -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=1, \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} {{5}^{t}}\left( {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{t}}-1+\frac{1}{{{5}^{t}}} \right)=-\infty $.
Bảng biến thiên

Từ BBT suy ra phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm khi
${{\left( m+1 \right)}^{2}}\le f\left( {{t}_{0}} \right)\Leftrightarrow -\sqrt{f\left( {{t}_{0}} \right)}-1\le m\le \sqrt{f\left( {{t}_{0}} \right)}+1$
$\Leftrightarrow -2,0675...\le m\le 0,0675...$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2;-1;0 \right\}$.
Thử lại các giá trị của tham số $m$ vào hệ ban đầu ta thấy đều có nghiệm.
Cách 2.
Nhận xét, nếu $m\ge 1$ thì ${{3}^{x}}+2m>{{3}^{x}}-{{m}^{2}}$ $\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)>{{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)>{{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right)$.
Nếu $m\le -3$ thì $2m>-{{m}^{2}}$ nên ${{3}^{x}}+2m>{{3}^{x}}-{{m}^{2}}>0$ và ${{3}^{x}}>{{m}^{2}}\ge -2m-m$, hay ${{3}^{x}}+2m>-m\ge 3$. Khi đó ${{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)>{{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)>{{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right)$.
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm với $m\ge 1$ hoặc $m\le -3$.
Với $m\in \left\{ -2;-1;0 \right\}$, bằng cách thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy có 3 giá trị của tham số $m$.