Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right)$ có nghiệm?

Đặt . Ta có

.
Xét hàm số .
Ta có .
.
Bảng biến thiên

Từ BBT suy ra phương trình có nghiệm khi


Mà nên .
Thử lại các giá trị của tham số vào hệ ban đầu ta thấy đều có nghiệm.
Cách 2.
Nhận xét, nếu thì .
Nếu thì nên và , hay . Khi đó .
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm với hoặc .
Với , bằng cách thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy có 3 giá trị của tham số .