Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình ${{\log }_{2}}\left( 2x+m \right)-2{{\log }_{2}}x={{x}^{2}}-4x-2m-1$ có hai nghiệm thực phân biệt?
A. 1
B. 3
C. 4
D. 2
A. 1
B. 3
C. 4
D. 2
Phương pháp:
Đưa về dạng hàm đặc trưng.
Cách giải:
Ta có ${{\log }_{2}}\left( 2x+m \right)-2{{\log }_{2}}x={{x}^{2}}-4x-2m-1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x+m \right)-{{\log }_{2}}{{x}^{2}}={{x}^{2}}-2\left( 2x+m \right)-1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x+m \right)+2\left( 2x+m \right)={{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2.\dfrac{{{x}^{2}}}{2}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+2t\left( t>0 \right)\Rightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}+2>0$ nên $2x+m=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-2m=0$ có hai nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta =4+2m>0 \\
& -2m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -2<m<0\Rightarrow m=-1$
$\Rightarrow$ Có 1 số nguyên m thoả mãn
Đưa về dạng hàm đặc trưng.
Cách giải:
Ta có ${{\log }_{2}}\left( 2x+m \right)-2{{\log }_{2}}x={{x}^{2}}-4x-2m-1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x+m \right)-{{\log }_{2}}{{x}^{2}}={{x}^{2}}-2\left( 2x+m \right)-1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x+m \right)+2\left( 2x+m \right)={{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+2.\dfrac{{{x}^{2}}}{2}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+2t\left( t>0 \right)\Rightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}+2>0$ nên $2x+m=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-2m=0$ có hai nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta =4+2m>0 \\
& -2m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -2<m<0\Rightarrow m=-1$
$\Rightarrow$ Có 1 số nguyên m thoả mãn
Đáp án A.