Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m+6 \right)x+\frac{2}{3}$ đồng biến trên khoảng...

Ta có ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+m+6$.
Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ khi và chỉ khi
${f}'\left( x \right)\ge 0, \forall x\in \left( 0 ; +\infty \right)$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+m+6\ge 0, \forall x>0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}-m-6\le 0 \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}-m-6>0 \\
& S=m<0 \\
& P=m+6\ge 0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -2\le m\le 3 \\
& -6\le m<-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -6\le m\le 3$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên có $10$ số nguyên $m$ thỏa mãn bài toán.