Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}?$
A. 5
B. 1
C. 7
D. 2
A. 5
B. 1
C. 7
D. 2
Phương pháp:
- Tính đạo hàm $f'\left( x \right).$
- Để hàm số $f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $f'\left( x \right)\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
- Chia TH của $x,$ cô lập $m.$
- Giải các bất phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& m\ge f\left( x \right)\forall x\in \left[ a;b \right]\Rightarrow m\ge \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right) \\
& m\le f\left( x \right)\forall x\in \left[ a;b \right]\Rightarrow m\le \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có $f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow f'\left( x \right)=3+\dfrac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}.$
Để hàm số $f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $f'\left( x \right)\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
$\Leftrightarrow 3+\dfrac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \dfrac{3\sqrt{{{x}^{2}}+1}+mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 3\sqrt{{{x}^{2}}+1}+mx\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow mx\ge -3\sqrt{{{x}^{2}}+1}\forall x\in \mathbb{R}$
TH1: $x=0\Rightarrow 0\ge -3$ (luôn đúng).
TH2: $x>0\Rightarrow m\ge \dfrac{-3\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x}=f\left( x \right)\Rightarrow m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)\left( 1 \right).$
TH3: $x<0\Rightarrow m\le \dfrac{-3\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x}=f\left( x \right)\Rightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)\left( 2 \right).$
Xét hàm số $f\left( x \right)=-\dfrac{3\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x}\left( x\ne 0 \right)$ ta có $f'\left( x \right)=\dfrac{\dfrac{-3x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}x+3\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}}=\dfrac{3}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0\forall x\ne 0$.
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge -3,\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le 3\Rightarrow -3\le m\le 3.$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1;0;1;2;3 \right\}.$
Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Tính đạo hàm $f'\left( x \right).$
- Để hàm số $f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $f'\left( x \right)\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
- Chia TH của $x,$ cô lập $m.$
- Giải các bất phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& m\ge f\left( x \right)\forall x\in \left[ a;b \right]\Rightarrow m\ge \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right) \\
& m\le f\left( x \right)\forall x\in \left[ a;b \right]\Rightarrow m\le \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có $f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow f'\left( x \right)=3+\dfrac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}.$
Để hàm số $f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $f'\left( x \right)\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
$\Leftrightarrow 3+\dfrac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \dfrac{3\sqrt{{{x}^{2}}+1}+mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 3\sqrt{{{x}^{2}}+1}+mx\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow mx\ge -3\sqrt{{{x}^{2}}+1}\forall x\in \mathbb{R}$
TH1: $x=0\Rightarrow 0\ge -3$ (luôn đúng).
TH2: $x>0\Rightarrow m\ge \dfrac{-3\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x}=f\left( x \right)\Rightarrow m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)\left( 1 \right).$
TH3: $x<0\Rightarrow m\le \dfrac{-3\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x}=f\left( x \right)\Rightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)\left( 2 \right).$
Xét hàm số $f\left( x \right)=-\dfrac{3\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x}\left( x\ne 0 \right)$ ta có $f'\left( x \right)=\dfrac{\dfrac{-3x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}x+3\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}}=\dfrac{3}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0\forall x\ne 0$.
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge -3,\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le 3\Rightarrow -3\le m\le 3.$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1;0;1;2;3 \right\}.$
Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.