Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho với mỗi $y$ có không quá 50 số nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{\log }_{5}}x+x-1 \right)\left( {{\log }_{7}}x-y \right)<0?$
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
Cách giải:
Đặt ${{\log }_{5}}x+x-1=f\left( x \right)\left( x>0 \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{1}{x\ln 5}+1>0\forall x>0$ nên hàm là hàm đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Mà $f\left( 1 \right)=0$ nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f\left( x \right)=0.$
Với $x<1\Rightarrow {{\log }_{5}}x+x-1<0\Rightarrow {{\log }_{7}}x-y>0\Leftrightarrow x>{{7}^{y}}.$ Do đó bất phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên $x$ thỏa mãn.
Xét $x>1\Rightarrow {{\log }_{5}}x+x-1>0\Rightarrow {{\log }_{7}}x-y<0\Rightarrow x>{{7}^{y}}.$
$\Rightarrow x\in \left[ 2;{{7}^{y}} \right).$
Vì không quá 50 giá trị $x$ nguyên $\Rightarrow {{7}^{y}}\le 52\Rightarrow y\le 2\left( doy\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow y\in \left\{ 1;2 \right\}.$
Vậy có 2 số nguyên $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt ${{\log }_{5}}x+x-1=f\left( x \right)\left( x>0 \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{1}{x\ln 5}+1>0\forall x>0$ nên hàm là hàm đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Mà $f\left( 1 \right)=0$ nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f\left( x \right)=0.$
Với $x<1\Rightarrow {{\log }_{5}}x+x-1<0\Rightarrow {{\log }_{7}}x-y>0\Leftrightarrow x>{{7}^{y}}.$ Do đó bất phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên $x$ thỏa mãn.
Xét $x>1\Rightarrow {{\log }_{5}}x+x-1>0\Rightarrow {{\log }_{7}}x-y<0\Rightarrow x>{{7}^{y}}.$
$\Rightarrow x\in \left[ 2;{{7}^{y}} \right).$
Vì không quá 50 giá trị $x$ nguyên $\Rightarrow {{7}^{y}}\le 52\Rightarrow y\le 2\left( doy\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow y\in \left\{ 1;2 \right\}.$
Vậy có 2 số nguyên $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.