Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có không quá $10$ số nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{2}^{x+1}}-\sqrt{2} \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0?$
A. 1024.
B. 2047.
C. 1022.
D. 1023.
A. 1024.
B. 2047.
C. 1022.
D. 1023.
Cách giải:
$\left( {{2}^{x+1}}-\sqrt{2} \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0$
Vậy $y>0$ nên bất phương trình có không quá 10 nghiệm nguyên khi và chỉ khi
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}<{{2}^{x}}<y\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<x<{{\log }_{2}}y.$
Nếu ${{\log }_{2}}y>10\Rightarrow x\in \left\{ 0;1;2;...;10 \right\}$ đều là nghiệm, do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Rightarrow {{\log }_{2}}y\le 10\Leftrightarrow y\le 1024.$
Mà $y$ là số nguyên dương nên $y\in \left\{ 1;2;3;...;1023;1024 \right\}.$
Vậy có $1024$ gí trị nguyên dương của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\left( {{2}^{x+1}}-\sqrt{2} \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0$
Vậy $y>0$ nên bất phương trình có không quá 10 nghiệm nguyên khi và chỉ khi
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}<{{2}^{x}}<y\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<x<{{\log }_{2}}y.$
Nếu ${{\log }_{2}}y>10\Rightarrow x\in \left\{ 0;1;2;...;10 \right\}$ đều là nghiệm, do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Rightarrow {{\log }_{2}}y\le 10\Leftrightarrow y\le 1024.$
Mà $y$ là số nguyên dương nên $y\in \left\{ 1;2;3;...;1023;1024 \right\}.$
Vậy có $1024$ gí trị nguyên dương của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.