Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có không quá 5 số nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{5}^{x+2}}-\sqrt{5} \right)\left( {{5}^{x}}-y \right)<0?$
A. $631$.
B. $623$.
C. $625$.
D. $624$.
A. $631$.
B. $623$.
C. $625$.
D. $624$.
+) Ta có $y \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow \log _{5} y \geq 0$
+) Xét bất phương trình $\left(5^{x+2}-\sqrt{5}\right)\left(5^{x}-y\right)<0$ có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: $\left\{\begin{array}{c}5^{x+2}<\sqrt{5} \\ 5^{x}>y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x+2<\log _{5} \sqrt{5} \\ x>\log _{5} y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x<-\dfrac{3}{2} \\ x>\log _{5} y\end{array}\right.\right.\right.$
Trường hợp 2: $\left\{\begin{array}{c}5^{x+2}>\sqrt{5} \\ 5^{x}<y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x>\dfrac{-3}{2} \\ x<\log _{5} y\end{array} \Leftrightarrow-\dfrac{3}{2}<x<\log _{5} y\right.\right.$
Để bất phương phương trình đã cho có không quá 5 nghiệm nguyên $x$ thì $\log _{5} y \leq 4 \Leftrightarrow y \leq 5^{4}$.
Kết hợp với điều kiện $y \in \mathbb{N}^{*}$ suy ra có 625 số nguyên dương $y$.
+) Xét bất phương trình $\left(5^{x+2}-\sqrt{5}\right)\left(5^{x}-y\right)<0$ có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: $\left\{\begin{array}{c}5^{x+2}<\sqrt{5} \\ 5^{x}>y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x+2<\log _{5} \sqrt{5} \\ x>\log _{5} y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x<-\dfrac{3}{2} \\ x>\log _{5} y\end{array}\right.\right.\right.$
Trường hợp 2: $\left\{\begin{array}{c}5^{x+2}>\sqrt{5} \\ 5^{x}<y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x>\dfrac{-3}{2} \\ x<\log _{5} y\end{array} \Leftrightarrow-\dfrac{3}{2}<x<\log _{5} y\right.\right.$
Để bất phương phương trình đã cho có không quá 5 nghiệm nguyên $x$ thì $\log _{5} y \leq 4 \Leftrightarrow y \leq 5^{4}$.
Kết hợp với điều kiện $y \in \mathbb{N}^{*}$ suy ra có 625 số nguyên dương $y$.
Đáp án C.