Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ bất phương $(2 x-4)\left(3^{x}-y\right)<0$ trình có nghiệm nguyên và số nghiệm nguyên không quá 7?
A. 59049.
B. 59025.
C. 59024.
D. 2.
A. 59049.
B. 59025.
C. 59024.
D. 2.
Ta có $(2 x-4)\left(3^{x}-y\right)<0$ với $x \in \mathbb{Z}$ và $y \in \mathbb{Z}^{+}$
TH1: Nếu $\left\{\begin{array}{l}2 x-4<0 \\ 3^{x}-y>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x<4 \\ 3^{x}>y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x<2 \\ x>\log _{3} y\end{array}\right.\right.\right.$.
Theo yêu cầu bài toán, ứng với mỗi $y$ bất phương trình có không quá 7 nghiệm nguyên, mà $x<2$ nên ta có $-6 \leq \log _{3} y<1 \Leftrightarrow 3^{-6} \leq y<3$. Do $y$ nguyên dương nên $y \in\{1 ; 2\}$.Suy ra có 2 giá trị $y$ thỏa TH1.
TH2: $\left\{\begin{array}{l}2 x-4>0 \\ 3^{x}-y<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x>4 \\ 3^{x}<y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x>2 \\ x<\log _{3} y\end{array}\right.\right.\right.$.
Theo yêu cầu bài toán, ứng với mỗi $y$ bất phương trình có không quá 7 nghiệm nguyên, mà $x>2$ nên ta có $3<\log _{3} y \leq 10 \Leftrightarrow 27<y \leq 3^{10} \Leftrightarrow 27<y \leq 59049$. Do $y$ nguyên dương nên $y \in\{28 ; 29 ; \ldots ; 59049\}$. Suy ra có 59022 giá trị $y$ thỏa yêu TH2.
Vậy có 59024 giá trị nguyên dương $y$ thỏa yêu cầu đề bài.
TH1: Nếu $\left\{\begin{array}{l}2 x-4<0 \\ 3^{x}-y>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x<4 \\ 3^{x}>y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x<2 \\ x>\log _{3} y\end{array}\right.\right.\right.$.
Theo yêu cầu bài toán, ứng với mỗi $y$ bất phương trình có không quá 7 nghiệm nguyên, mà $x<2$ nên ta có $-6 \leq \log _{3} y<1 \Leftrightarrow 3^{-6} \leq y<3$. Do $y$ nguyên dương nên $y \in\{1 ; 2\}$.Suy ra có 2 giá trị $y$ thỏa TH1.
TH2: $\left\{\begin{array}{l}2 x-4>0 \\ 3^{x}-y<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x>4 \\ 3^{x}<y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x>2 \\ x<\log _{3} y\end{array}\right.\right.\right.$.
Theo yêu cầu bài toán, ứng với mỗi $y$ bất phương trình có không quá 7 nghiệm nguyên, mà $x>2$ nên ta có $3<\log _{3} y \leq 10 \Leftrightarrow 27<y \leq 3^{10} \Leftrightarrow 27<y \leq 59049$. Do $y$ nguyên dương nên $y \in\{28 ; 29 ; \ldots ; 59049\}$. Suy ra có 59022 giá trị $y$ thỏa yêu TH2.
Vậy có 59024 giá trị nguyên dương $y$ thỏa yêu cầu đề bài.
Đáp án C.