Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho tồn tại số thực $x\in...

Ta có $(3x-y-3){{e}^{x}}=y(2xy-3{{x}^{2}})$
$\Leftrightarrow (3x-y-3){{e}^{x}}-y(2xy-3{{x}^{2}})=0$
Xét hàm số $f(x)=(3x-y-3){{e}^{x}}-y(2xy-3{{x}^{2}})$
${{f}^{/}}(x)=(3x-y){{e}^{x}}+2y(3x-y)$
${{f}^{/}}(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
3x-y=0 \\
{{e}^{y}}+2y=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\dfrac{y}{3} \\
VN \\
\end{matrix} \right.$
Ta có $f(1)=(3-y-3)e-y(2y-3)=-2{{y}^{2}}-ey+3y$
$f(6)=(15-y){{e}^{6}}-y(12y-108)=-12{{y}^{2}}+(108-{{e}^{6}})y+15{{e}^{6}}$
$f(\dfrac{y}{3})=(y-y-3){{e}^{\dfrac{y}{3}}}-y(2\dfrac{y}{3}y-3\dfrac{{{y}^{2}}}{9})=-3y{{e}^{\dfrac{y}{3}}}-\dfrac{{{y}^{3}}}{3}$
Trường hợp 1. $x=\dfrac{y}{3}\notin \left[ 1;6 \right]\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
y\le 3 \\
y\ge 18 \\
\end{matrix} \right.$
+ Với $y\le 3$ ta có ${{f}^{/}}(x)\ge 0,\forall x\in \left[ 1;6 \right]$ $\Rightarrow f(x)\in \left[ f(1);f(6) \right]$. Khi đó phương trình $f(x)=0$ có nghiệm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
f(1)<0 \\
f(6)>0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-2{{y}^{2}}-ey+3y<0 \\
-12{{y}^{2}}+(108-{{e}^{6}})y+15{{e}^{6}}>0 \\
\end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
0<y<0,141, VN, \forall y\le 3 \\
-12{{y}^{2}}+(108-{{e}^{6}})y+15{{e}^{6}}>0 \\
\end{matrix} \right.$ Hệ phương trình vô nghiệm
+ Với $y\le 18$ ta có ${{f}^{/}}(x)\le 0,\forall x\in \left[ 1;6 \right]$ $\Rightarrow f(x)\in \left[ f(6);f(1) \right]$. Khi đó phương trình $f(x)=0$ có nghiệm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
f(1)>0 \\
f(6)<0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-2{{y}^{2}}-ey+3y>0 \\
-12{{y}^{2}}+(108-{{e}^{6}})y+15{{e}^{6}}<0 \\
\end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
VN, \forall y\ge 18 \\
-12{{y}^{2}}+(108-{{e}^{6}})y+15{{e}^{6}}>0 \\
\end{matrix} \right.$ Hệ phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2. $x=\dfrac{y}{3}\in (1;6)\Rightarrow 3<y<18$
Bảng biến thiên
Vì $f(1)=-ye+y-2{{y}^{2}}<0, \forall y\in (3;18)$ cho nên phương trình có nghiệm khi
$f(6)>0\Leftrightarrow (15-y){{e}^{6}}-y(12y-108)>0$
$\Leftrightarrow -12{{y}^{2}}+(108-{{e}^{6}})y+15{{e}^{6}}\ge 0$
$\Leftrightarrow -13,299<y<37,918$
Kết hợp điều kiện $3<y<18$ nên $y\in \left\{ 4;5;6;...;17 \right\}$
Vậy có 14 giá trị nguyên.