Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ nhỏ hơn $500$ sao cho ứng với mỗi...

Ta có bất phương trình $\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-y\le {{\log }_{2}}{{\left( 2y+1 \right)}^{\dfrac{1}{2}}}-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)$
$\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-2y\le {{\log }_{2}}\left( 2y+1 \right)-{{\log }_{2}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}$.
$\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\le {{\log }_{2}}\left( 2y+1 \right)+2y+1-1$
$\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}\left[ 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}} \right]\le {{\log }_{2}}\left( 2y+1 \right)+\left( 2y+1 \right)$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$.
Ta có: $f'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 2}>0$ $\forall t>0\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\le 2y+1$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+1\le 2y$.
Đặt $g\left( x \right)=2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+1$ với $x\in \mathbb{R}$. Ta có: $g'\left( x \right)=8{{x}^{3}}+8x$. Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$.
Lập bảng biến thiên ta có:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $2y\ge g(4)={{2.4}^{4}}+{{4.4}^{2}}+1=577$ $\Rightarrow y\ge \dfrac{577}{2}=288,5$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& y\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \\
& y<500 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y\in \left\{ 289;290;...;499 \right\} $ $ \Rightarrow $ Có tất cả $ 211$ giá trị nguyên thỏa mãn.