Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có đúng...

TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{y+1}}-{{x}^{2}}>0 \\
& {{3}^{y}}-x<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1<y<{{\log }_{3}}x$ (1).
Điều kiện cần ${{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1<{{\log }_{3}}x\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x-1<{{\log }_{3}}x\Leftrightarrow x<1,65$
Vì $x\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow x=1$.
Thử lại $x=1$ loại.
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{y+1}}-{{x}^{2}}<0 \\
& {{3}^{y}}-x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x<y<{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1\left( 2 \right)$
Để có đúng $9$ số nguyên $y$ ta phải có $y-1\le {{\log }_{3}}x<y<y+1<...<y+8<{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1\le y+9$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{y-1}}\le x<{{3}^{y}} \\
& {{2}^{\dfrac{y+9}{2}}}<x\le {{2}^{\dfrac{y+10}{2}}} \\
\end{aligned} \right.$.
Hệ trên vô nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{\dfrac{y+10}{2}}}<{{3}^{y-1}} \\
& {{3}^{y}}\le {{2}^{\dfrac{y+9}{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y>6,06... \\
& y\le 4,14.... \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đó, y nguyên ta được hệ có nghiệm khi $\left[ \begin{aligned}
& y=5 \\
& y=6 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ta chỉ có hai trường hợp sau thỏa mãn bài toán
+ $y\in \left\{ 5;6;...;13 \right\}$ nghĩa là $4\le {{\log }_{3}}x<5;6;...;13<{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1\le 14$, ta được $x\in \left\{ 129;...181 \right\}$ có $53$ số nguyên.
+ $y\in \left\{ 6;7;...;14 \right\}$ nghĩa là $5\le {{\log }_{3}}x<6;7;...;14<{{\log }_{2}}{{x}^{2}}-1\le 15$, ta được $x\in \left\{ 243;...256 \right\}$ có $14$ số nguyên.
Vậy có $53+14=67$ số nguyên.