Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ luôn có ít hơn 4041 số nguyên $x$ thỏa mãn $\left({{\log }_{3}}x-m \right)\left( {{\log...

Điều kiện: $x>0.$ Với $x>0$ ta có ${{\log }_{3}}\left( x+4 \right)-1>0$ nên $\left( {{\log }_{3}}x-m \right)\left( {{\log }_{3}}\left( x+4 \right)-1 \right)<0$ xảy ra khi ${{\log }_{3}}x-m<0\Leftrightarrow 0<x<{{3}^{m}}.$ Theo giả thiết suy ra ${{3}^{m}}\le 4041\Leftrightarrow m<{{\log }_{3}}4041\simeq 7,56.$
Do $m$ nguyên dương suy ra $m\in \left\{ 1,2,3,4,5,6,7 \right\}.$