Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho hàm số $y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x+2$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)?$
A. 6
B. 5
C. 8
D. 7
A. 6
B. 5
C. 8
D. 7
Cách giải:
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+2x+1-m$
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ thì $y'\ge 0$ với $x\in \left( 1;+\infty \right).$
$\Rightarrow 3{{x}^{2}}+2x+1-m\ge 0,x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Rightarrow 3{{x}^{2}}+2x+1\ge m$
Xét hàm $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2x+1,x\in \left( 1;+\infty \right)$
Ta có: $3{{x}^{2}}+2x+1=3\left( {{x}^{2}}+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3} \right)=3{{\left( x+\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{2}{3}>0$
Nên hàm số đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Mà $g\left( 1 \right)=6\Rightarrow m\le 6$ mà $m$ là số nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.$
Vậy có 6 giá trị $m$ thỏa mãn.
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+2x+1-m$
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ thì $y'\ge 0$ với $x\in \left( 1;+\infty \right).$
$\Rightarrow 3{{x}^{2}}+2x+1-m\ge 0,x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Rightarrow 3{{x}^{2}}+2x+1\ge m$
Xét hàm $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2x+1,x\in \left( 1;+\infty \right)$
Ta có: $3{{x}^{2}}+2x+1=3\left( {{x}^{2}}+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3} \right)=3{{\left( x+\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{2}{3}>0$
Nên hàm số đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Mà $g\left( 1 \right)=6\Rightarrow m\le 6$ mà $m$ là số nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.$
Vậy có 6 giá trị $m$ thỏa mãn.
Đáp án A.