Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để phương trình $m\left(...

Xét phương trình $m\left( {{e}^{x}}-1 \right).\ln (mx+1)+2{{e}^{x}}={{e}^{2x}}+1$ (*) điều kiện $mx+1>0$
$\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{e}^{x}}-1=0 \\
& {{e}^{x}}-1=m.\ln (mx+1) \\
\end{aligned} \right.$
${{e}^{x}}-1=0\Leftrightarrow x=0$
${{e}^{x}}-1=m.\ln (mx+1)$, Đặt $y=\ln (mx+1)\Rightarrow {{e}^{x}}-1=my.$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=\ln (my+1) (1) \\
& y=\ln (mx+1) (2) \\
\end{aligned} \right.$
Trừ (1) và (2) theo vế ta được: $x-y=\ln (my+1)-\ln (mx+1)$ hay $x+\ln (mx+1)=y+\ln (my+1) $
với $m>0$ thì hàm số $f(x)=x+\ln (mx+1)$ đồng biến trên tập xác định nên $x+\ln (mx+1)=y+\ln (my+1) \Leftrightarrow x=y$
Thay $x=y$ vào $(1)$ ta được $x=\ln (mx+1) $ hay ${{e}^{x}}=mx+1 (4)$
Rõ ràng $x=0$ là 1 nghiệm của phương trình (4).
Với $x\ne 0$ ta có $(4)\Leftrightarrow m=\dfrac{{{e}^{x}}-1}{x}$
Xét hàm số $g(x)=\dfrac{{{e}^{x}}-1}{x}$, ta có: Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \{0\}$ và ${g}'(x)=\dfrac{x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+1}{{{x}^{2}}}$
${g}'(x)=0\Leftrightarrow x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+1=0$
Hàm số $h(x)=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+1$ có ${h}'(x)=x{{e}^{x}}$ nên ${h}'(x)=0\Leftrightarrow x=0$
Ta có bảng biến thiên của $h(x)$ như sau:
Suy ra $h(x)\ge 0 ,\forall x$ do đó ${g}'(x)>0 ,\forall x\ne 0$
Bảng biến thiên của $g(x)$ :
Để phương trình ${{e}^{x}}-1=\ln {{(mx+1)}^{m}}$ có 2 nghiệm phân biệt không lớn hơn 5 thì phương trình
$m=g(x)$ có duy nhất 1 nghiệm bé hơn hoặc bằng 5. Ta có $g(5)=\dfrac{{{e}^{5}}-1}{5}\approx 29,5$
Dựa vào bảng biến thiên của $g(x)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& 0<m\le g(5) \\
& m\ne 1 \\
\end{aligned} \right. $ do $ m\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ nên có 28 giá trị thỏa mãn.