Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để phương trình ${{e}^{x}}-1=m\ln...

Cách giải:
Sưu tầm Toanmath
ĐK: $mx+1>0$
Ta có:
${{e}^{x}}-1=m\ln \left( mx+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{e}^{x}}+mx=mx+1+m\ln \left( mx+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{e}^{x}}+mx={{e}^{\ln \left( mx+1 \right)}}+m\ln \left( mx+1 \right)$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{e}^{t}}+mt$ ta có $f'\left( t \right)={{e}^{t}}+m>0\forall m>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó $f\left( x \right)=f\left( \ln \left( mx+1 \right) \right)\Leftrightarrow x=\ln \left( mx+1 \right)\Leftrightarrow {{e}^{x}}=mx+1.$
Nhận thấy phương trình ${{e}^{x}}=mx+1$ có nghiệm $x=0$ nên để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình ${{e}^{x}}=mx+1$ phải có 1 nghiệm $x\ne 0,x\in \left[ -10;10 \right].$
Ta có: ${{e}^{x}}=mx+1\Leftrightarrow {{e}^{x}}-1=mx\Leftrightarrow \dfrac{{{e}^{x}}-1}{x}=m\left( x\ne 0 \right).$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{{{e}^{x}}-1}{x}$ ta có $g'\left( x \right)=\dfrac{x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+1}{{{x}^{2}}},x\in \left[ -10;10 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}.$
Tiếp tục xét hàm số $h\left( x \right)=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+1$ ta có $h'\left( x \right)={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}=x{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=0.$
Ta có BBT hàm số $h\left( x \right):$

Dựa vào BBT ta thấy $h\left( x \right)\ge 0\forall x\in \mathbb{R},h\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0.$ Do đó $g'\left( x \right)>0\forall x\in \left[ -10;10 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}.$
Khi đó ta có BBT hàm số $g\left( x \right)$ như sau:

Từ BBT $\Rightarrow $ phương trình ${{e}^{x}}=mx+1$ phải có 1 nghiệm $x\ne 0,x\in \left[ -10;10 \right]$ khi và chỉ khi $m\in \left[ \dfrac{1-{{e}^{-10}}}{10};\dfrac{{{e}^{10}}}{10} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Mà $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m\in \left\{ 2;3;...;2202 \right\}.$
Vậy có 2201 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.