Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ứng với mỗi $a$ thì mọi số thực dương $b$ đều thỏa $2\left( {{b}^{\log a}}+\dfrac{1}{{{b}^{\log a}}}+1 \right)\le 3\left( {{b}^{2}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}} \right)$ ?
A. 100.
B. 900.
C. 99.
D. 899.
A. 100.
B. 900.
C. 99.
D. 899.
Xét $g(x)={{b}^{x}}+\dfrac{1}{{{b}^{x}}}={{b}^{x}}+{{b}^{-x}}\Rightarrow g'(x)={{b}^{x}}\ln b-{{b}^{-x}}\ln b=\ln b.({{b}^{x}}-{{b}^{-x}})\ge 0,\forall b>0;\forall x\ge 0$ (1)
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& 0<b<1\Rightarrow {{b}^{x}}<{{b}^{-x}},(x\ge 0);\ln b<0\Rightarrow g'(x)>0 \\
& b=1\Rightarrow g'(x)=0 \\
& b>1\Rightarrow {{b}^{x}}>{{b}^{-x}},(x>0);\ln b>0\Rightarrow g'(x)>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'(x)\ge 0,\forall b>0,\forall x\ge 0$
TH1: Nếu $\log a<0\Rightarrow VT-VP=2\left[ g(\log a)+1 \right]-3g(2)=2-{{b}^{2}}-\dfrac{1}{{{b}^{2}}}=-\dfrac{{{({{b}^{2}}-1)}^{2}}}{{{b}^{2}}}\le 0,\forall b>0$
TH2: Nếu $\log a>2\Rightarrow VT-VP=2\left( {{b}^{\log a}}+\dfrac{1}{{{b}^{\log a}}}+1 \right)-3\left( {{b}^{2}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}} \right)\to +\infty ,(b\to +\infty )$ (loại)
Vậy $\log a\le 2\Leftrightarrow 0<a\le 100$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& 0<b<1\Rightarrow {{b}^{x}}<{{b}^{-x}},(x\ge 0);\ln b<0\Rightarrow g'(x)>0 \\
& b=1\Rightarrow g'(x)=0 \\
& b>1\Rightarrow {{b}^{x}}>{{b}^{-x}},(x>0);\ln b>0\Rightarrow g'(x)>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'(x)\ge 0,\forall b>0,\forall x\ge 0$
TH1: Nếu $\log a<0\Rightarrow VT-VP=2\left[ g(\log a)+1 \right]-3g(2)=2-{{b}^{2}}-\dfrac{1}{{{b}^{2}}}=-\dfrac{{{({{b}^{2}}-1)}^{2}}}{{{b}^{2}}}\le 0,\forall b>0$
TH2: Nếu $\log a>2\Rightarrow VT-VP=2\left( {{b}^{\log a}}+\dfrac{1}{{{b}^{\log a}}}+1 \right)-3\left( {{b}^{2}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}} \right)\to +\infty ,(b\to +\infty )$ (loại)
Vậy $\log a\le 2\Leftrightarrow 0<a\le 100$
Đáp án A.