Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ứng với mỗi $a$ có không...

${{2}^{a}}+{{4.6}^{b}}<{{2}^{a+b+2}}+{{3}^{b}}\Leftrightarrow {{2}^{a}}\left( 1-{{4.2}^{b}} \right)+{{3}^{b}}\left( {{4.2}^{b}}-1 \right)<0$ $\Leftrightarrow \left( {{2}^{a}}-{{3}^{b}} \right)\left( 1-{{4.2}^{b}} \right)<0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{a}}-{{3}^{b}}<0 \\
& 1-{{4.2}^{b}}>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{a}}-{{3}^{b}}>0 \\
& 1-{{4.2}^{b}}<0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{a}}<{{3}^{b}} \\
& 1>{{4.2}^{b}} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{a}}>{{3}^{b}} \\
& 1<{{4.2}^{b}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& b<-2 \\
& {{2}^{a}}<{{3}^{b}}<{{3}^{-2}} \\
\end{aligned} \right.(MT\text{ do }a\in \mathbb{Z}_{+}^{*}) \\
& \left\{ \begin{aligned}
& b>-2 \\
& b<a{{\log }_{3}}2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$.
Để ứng với mỗi $a$ có không quá 20 số nguyên $b$ $\Leftrightarrow a{{\log }_{3}}2<19\Leftrightarrow a\le \dfrac{18}{{{\log }_{3}}2}\approx 30.1$.
Vậy có 30 số nguyên dương $a$ thỏa mãn.