Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ứng với mỗi $a$ có đúng...

Theo bài ra ta có $a\in \mathbb{Z}, a\ge 1$ và $b\in \mathbb{Z}$
Trường hợp 1 :
$\left\{ \begin{aligned}
& {{4}^{b}}-1<0 \\
& a{{.3}^{b}}-10>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{4}^{b}}<1 \\
& {{3}^{b}}>\dfrac{10}{a} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b<0 \\
& b>{{\log }_{3}}\dfrac{10}{a} \\
\end{aligned} \right.$
Vì có đúng hai số nguyên $b$ thỏa mãn nên $b\in \left\{ -2;-1 \right\}$.
Do đó $-2>{{\log }_{3}}\dfrac{10}{a}\ge -3\Leftrightarrow 270\ge a>90$ nên $a\in \left\{ 91;92;...;270 \right\}$.
Suy ra có 180 giá trị của $a$ thoả mãn trường hợp 1.
Trường hợp 2:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{4}^{b}}-1>0 \\
& a{{.3}^{b}}-10<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{4}^{b}}>1 \\
& {{3}^{b}}<\dfrac{10}{a} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b>0 \\
& b<{{\log }_{3}}\dfrac{10}{a} \\
\end{aligned} \right.$
Vì có đúng hai số nguyên $b$ thỏa mãn nên $b\in \left\{ 1;2 \right\}$.
Do đó $3\ge {{\log }_{3}}\dfrac{10}{a}>2\Leftrightarrow \dfrac{10}{9}>a\ge \dfrac{10}{27}$ nên $a=1$.
Suy ra có 1 giá trị của $a$ thoả mãn trường hợp 2.
Vậy có tất cả $181$ giá trị của $a$ thoả mãn yêu cầu bài toán.