Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ứng với mỗi $a$ có đúng...

Ta có $a\ge 1,b\in \mathbb{Z}$.
$\left( {{4}^{b}}-1 \right)\left( a{{.3}^{b}}-10 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0 \\
& b={{\log }_{3}}\left( \dfrac{10}{a} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Trường hợp 1: $\dfrac{10}{a}>1\Leftrightarrow a<10$.

Tập nghiệm bất phương trình $S=\left( 0;{{\log }_{3}}\left( \dfrac{10}{a} \right) \right)$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 2<{{\log }_{3}}\left( \dfrac{10}{a} \right)\le 3\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<\dfrac{10}{9} \\
& a\ge \dfrac{10}{27} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=1$.
Trường hợp 2: $0<\dfrac{10}{a}<1\Leftrightarrow a>10$
Tập nghiệm bất phương trình $S=\left( {{\log }_{3}}\left( \dfrac{10}{a} \right);0 \right)$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow -3\le {{\log }_{3}}\left( \dfrac{10}{a} \right)<-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\le 270 \\
& a>90 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 90<a\le 270$.
Cả 2 trường hợp có tất cả 181 giá trị nguyên của $a$ thỏa yêu cầu bài toán.