Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho tồn tại số thực $b$ thỏa mãn ${{2}^{a}}={{3}^{b}}$ và $a-b<4?$

Phương pháp:
- Từ ${{2}^{a}}={{3}^{b}}$ lấy logarit cơ số 3 hai vế, rút $b$ theo $a.$
- Thế vào bất phương trình $a-b<4,$ giải bất phương trình tìm $a.$
Cách giải:
Ta có ${{2}^{a}}={{3}^{b}}\Rightarrow b=a{{\log }_{3}}2.$
$\Rightarrow a-b<4\Leftrightarrow a-a{{\log }_{3}}2<4$
$\Leftrightarrow a\left( 1-{{\log }_{3}}2 \right)<4$
$\Leftrightarrow a{{\log }_{3}}\dfrac{3}{2}<4$
$\Leftrightarrow a<\dfrac{4}{{{\log }_{3}}\dfrac{3}{2}}$
Do đó $a\in \left( 0;\dfrac{4}{{{\log }_{3}}\dfrac{3}{2}} \right).$ Kết hợp điều kiện $a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \left\{ 1;2;3;...;10 \right\}.$
Vậy có 10 giá trị của $a$ thỏa mãn.