Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại số thực $b\ge a$ thỏa mãn ${{4}^{a}}={{2}^{b}}+b$ và đoạn $\left[ a;b \right]$ chứa không quá $5$ số nguyên?
A. $5$.
B. $11$.
C. $10$.
D. $6$.
A. $5$.
B. $11$.
C. $10$.
D. $6$.
Ta có ${{4}^{a}}={{2}^{b}}+b\Leftrightarrow {{2}^{b}}+b-{{4}^{a}}=0$
Xét hàm số $f\left( b \right)={{2}^{b}}+b-{{4}^{a}}\Rightarrow {f}'\left( b \right)={{2}^{b}}\ln b+1>0$
Nên hàm số $f\left( b \right)$ luôn đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$
Ta có ${{4}^{a}}={{2}^{b}}+b\ge {{2}^{a}}+a\Leftrightarrow {{2}^{a}}+a-{{4}^{a}}\le 0\Leftrightarrow f\left( a \right)\le 0$
Nên để tồn tại số thực $b$ và đoạn $\left[ a;b \right]$ không chứ quá 5 số nguyên:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
f\left( a \right)\le 0 \\
f\left( a+5 \right)>0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{2}^{a}}+a-{{4}^{a}}\le 0 \\
{{2}^{a+5}}+a+5-{{4}^{a}}>0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow a\in \left\{ -5;-4;..;4;5 \right\}$.
Xét hàm số $f\left( b \right)={{2}^{b}}+b-{{4}^{a}}\Rightarrow {f}'\left( b \right)={{2}^{b}}\ln b+1>0$
Nên hàm số $f\left( b \right)$ luôn đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$
Ta có ${{4}^{a}}={{2}^{b}}+b\ge {{2}^{a}}+a\Leftrightarrow {{2}^{a}}+a-{{4}^{a}}\le 0\Leftrightarrow f\left( a \right)\le 0$
Nên để tồn tại số thực $b$ và đoạn $\left[ a;b \right]$ không chứ quá 5 số nguyên:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
f\left( a \right)\le 0 \\
f\left( a+5 \right)>0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{2}^{a}}+a-{{4}^{a}}\le 0 \\
{{2}^{a+5}}+a+5-{{4}^{a}}>0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow a\in \left\{ -5;-4;..;4;5 \right\}$.
Đáp án B.