Có bao nhiêu số nguyên $a$ để phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3...

Trường hợp 1: Hai nghiệm là hai số phức ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ có phần ảo khác không
Để phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm phức có phần ảo khác không khi $\Delta ={{\left( a-3 \right)}^{2}}-4\left( {{a}^{2}}+a \right)<0\Leftrightarrow -3{{a}^{2}}-10a+9<0$
$\Leftrightarrow a\in \left( -\infty ;\dfrac{-2\sqrt{13}-5}{3} \right)\cup \left( \dfrac{2\sqrt{13}-5}{3};+\infty \right)$.
Giả sử ${{z}_{1}}=\dfrac{-b-i\sqrt{\left| \Delta \right|}}{2}$ ; ${{z}_{2}}=\dfrac{-b+i\sqrt{\left| \Delta \right|}}{2}$
Ta có $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\sqrt{\left| -3{{a}^{2}}-10a+9 \right|}$
$\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=\left| -3{{a}^{2}}-10a+9 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-9 \\
& a=\pm 1 \\
& a=0 \\
\end{aligned} \right. $ so với điều kiện ta nhận được $ a=-9 $; $ a=1$.
Trường hợp 2: Hai nghiệm là hai số thực ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$.
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{S}^{2}}={{S}^{2}}-4P\Leftrightarrow P=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a=-1 \\
\end{aligned} \right.$. Thử lại thỏa mãn.