Có bao nhiêu số nguyên $a$ để phương trình ${{6}^{x}}-{{2}^{2}}-{{3}^{x}}=\dfrac{a}{5}$ có hai nghiệm thực phân biệt.

Phương pháp:
- Đặt $f\left( x \right)={{6}^{x}}-{{2}^{x}}-{{3}^{x}}.$ Tính $f'\left( x \right).$
- Chứng minh $f'\left( x \right)>0\forall x>0,f'\left( x \right)<0\forall x<0$ và suy ra phương trình $f'\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất $x=0.$
- Lập BBT hàm số $f\left( x \right).$
- Số nghiệm của phương trình ${{6}^{x}}-{{2}^{x}}-{{3}^{x}}=\dfrac{a}{5}$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $f\left( x \right)={{6}^{x}}-{{2}^{x}}-{{3}^{x}}$ và đường thẳng $y=\dfrac{a}{5}.$
Cách giải:
Xét hàm số $f\left( x \right)={{6}^{x}}-{{2}^{x}}-{{3}^{x}}$ ta có $f'\left( x \right)={{6}^{x}}\ln 6-{{2}^{x}}\ln 2-{{3}^{x}}\ln 3.$
Ta có:
$f'\left( x \right)={{6}^{x}}\ln 6-{{2}^{x}}\ln 2-{{3}^{x}}\ln 3$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)={{6}^{x}}\left( \ln 2+\ln 3 \right)-{{2}^{x}}\ln 2-{{3}^{x}}\ln 3$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)=\left( {{6}^{x}}-{{2}^{x}} \right)\ln 2+\left( {{6}^{x}}-{{3}^{x}} \right)\ln 3$
Với $x>0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{6}^{x}}>{{2}^{x}} \\
& {{6}^{x}}>{{3}^{x}} \\
& \ln 2>0,\ln 3>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f'\left( x \right)>0$
Với $x<0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{6}^{x}}<{{2}^{x}} \\
& {{6}^{x}}<{{3}^{x}} \\
& \ln 2>0,\ln 3>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f'\left( x \right)<0.$
Với $x=0\Rightarrow f'\left( x \right)=0.$
Do đó phương trình $f'\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất $x=0.$
Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình ${{6}^{x}}-{{2}^{x}}-{{3}^{x}}=\dfrac{a}{5}$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow -1<\dfrac{a}{5}<0\Leftrightarrow -5<a<0.$
Mà $a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}.$ Vậy có 4 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.