Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a<11$ sao cho ứng với mỗi $a$ tồn tại ít nhất 6 số nguyên $b\in \left( 0;8 \right)$ thỏa mãn ${{\log }_{4}}\left( {{b}^{2}}+12 \right)+{{\log }_{3}}\left[ \left( b+7 \right)\left( a-3 \right) \right]+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)\ge 0$ ?
A. $6$.
B. $5$.
C. $7$.
D. $4$.
A. $6$.
B. $5$.
C. $7$.
D. $4$.
Ta có ${{\log }_{4}}\left( {{b}^{2}}+12 \right)+{{\log }_{3}}\left[ \left( b+7 \right)\left( a-3 \right) \right]+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-7\ge 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( {{b}^{2}}+12 \right)+{{\log }_{3}}\left( b+7 \right)+{{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-7\ge 0$
Xét hàm số $f\left( b \right)={{\log }_{4}}\left( {{b}^{2}}+12 \right)+{{\log }_{3}}\left( b+7 \right)+{{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-7$ với $a>3$.
$\Rightarrow {f}'\left( b \right)=\dfrac{2b}{\left( {{b}^{2}}+12 \right)\ln 4}+\dfrac{1}{\left( b+7 \right)\ln 3}>0,\forall b\in \left( 0;8 \right)$
Để tồn tại 6 số nguyên $b\in \left( 0;8 \right)$ :
$\Leftrightarrow f\left( 2 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-3\ge 0$.
Do $f\left( a \right)={{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)+4$ là hàm đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right)$ và $f\left( 6 \right)=0$ nên $\Rightarrow a\in \left\{ 6;7;...;10 \right\}$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( {{b}^{2}}+12 \right)+{{\log }_{3}}\left( b+7 \right)+{{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-7\ge 0$
Xét hàm số $f\left( b \right)={{\log }_{4}}\left( {{b}^{2}}+12 \right)+{{\log }_{3}}\left( b+7 \right)+{{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-7$ với $a>3$.
$\Rightarrow {f}'\left( b \right)=\dfrac{2b}{\left( {{b}^{2}}+12 \right)\ln 4}+\dfrac{1}{\left( b+7 \right)\ln 3}>0,\forall b\in \left( 0;8 \right)$
$\Leftrightarrow f\left( 2 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)-3\ge 0$.
Do $f\left( a \right)={{\log }_{3}}\left( a-3 \right)+{{\log }_{5}}\left( a+19 \right)+4$ là hàm đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right)$ và $f\left( 6 \right)=0$ nên $\Rightarrow a\in \left\{ 6;7;...;10 \right\}$.
Đáp án C.