Có bao nhiêu số cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn $2 \leq x \leq...

Xét phương trình ${{2}^{y}}-{{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)=2x-y$
$\Leftrightarrow {{2}^{y}}+y={{\log }_{2}}2\left( x+{{2}^{y-1}} \right)+2x-1={{\log }_{2}}2\left( x+{{2}^{y-1}} \right)+2\left( x+{{2}^{y-1}} \right)-{{2}^{y}}-1$
$\Leftrightarrow {{2}^{y+1}}+y+1={{\log }_{2}}2\left( x+{{2}^{y-1}} \right)+2\left( x+{{2}^{y-1}} \right)$ $\left( * \right)$
Đặt ${{\log }_{2}}2\left( x+{{2}^{y-1}} \right)=t\Rightarrow 2\left( x+{{2}^{y-1}} \right)={{2}^{t}}$. Khi đó phương trình $\left( * \right)$ trở thành
${{2}^{y+1}}+\left( y+1 \right)=t+{{2}^{t}}$.
Hàm số $f\left( u \right)={{2}^{u}}+u$ có ${f}'\left( u \right)={{2}^{u}}\ln 2+1\Rightarrow {f}'\left( u \right)>0$ với mọi $u\in \mathbb{R}$.
Suy ra, hàm số $f\left( u \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ mà $f\left( y+1 \right)=f\left( t \right)\Leftrightarrow y+1=t\Rightarrow y+1={{\log }_{2}}2\left( x+{{2}^{y-1}} \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{y+1}}=2x+{{2}^{y}}\Leftrightarrow {{2}^{y}}=2x\Leftrightarrow y={{\log }_{2}}\left( 2x \right)$.
Ta có $2\le x\le 2022\Leftrightarrow {{\log }_{2}}4\le {{\log }_{2}}\left( 2x \right)\le {{\log }_{2}}\left( 4044 \right)$.
Suy ra $2\le y\le {{\log }_{2}}\left( 4044 \right)\approx 11,98$ mà $y$ nguyên nên có 10 giá trị $y$ thỏa mãn.
Vậy có 10 cặp số nguyên $\left( x,y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$2^{y}-\log _{2}\left(x+2^{y-1}\right)=2 x-y$