Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc đoạn $\left[ -2020; 2020 \right]$ của bất phương trình
$\left( x+4 \right)\left[ \sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+2}+1 \right]+x\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+2}+1 \right]>0$.
A. $2020$.
B. $2021$.
C. $2022$.
D. $2023$.
$\left( x+4 \right)\left[ \sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+2}+1 \right]+x\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+2}+1 \right]>0$.
A. $2020$.
B. $2021$.
C. $2022$.
D. $2023$.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có BPT tương đương: $\left( x+4 \right)\left[ \sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+2}+1 \right]> -x\left[ \sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}+2}+1 \right]$ $\left( 1 \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right)=t\left( \sqrt{{{t}^{2}}+2}+1 \right)$ với $t\in \mathbb{R}$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\sqrt{{{t}^{2}}+2}+1+\dfrac{{{t}^{2}}}{\sqrt{{{t}^{2}}+2}}>0, \forall t\in \mathbb{R}$. Vậy $f\left( t \right)$ là hàm sốđồng biếntrên $\mathbb{R}$.
Mặtkhác $f\left( t \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Do đó bất phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( x+4 \right)>f\left( -x \right)\Leftrightarrow x+4>-x\Leftrightarrow x>-2$.
Kết hợp điều kiện ban đầu ta có: $x\in \left( -2; 2020 \right].$ Vậy có $2022$ nghiệm nguyên.
Ta có BPT tương đương: $\left( x+4 \right)\left[ \sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+2}+1 \right]> -x\left[ \sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}+2}+1 \right]$ $\left( 1 \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right)=t\left( \sqrt{{{t}^{2}}+2}+1 \right)$ với $t\in \mathbb{R}$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\sqrt{{{t}^{2}}+2}+1+\dfrac{{{t}^{2}}}{\sqrt{{{t}^{2}}+2}}>0, \forall t\in \mathbb{R}$. Vậy $f\left( t \right)$ là hàm sốđồng biếntrên $\mathbb{R}$.
Mặtkhác $f\left( t \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Do đó bất phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( x+4 \right)>f\left( -x \right)\Leftrightarrow x+4>-x\Leftrightarrow x>-2$.
Kết hợp điều kiện ban đầu ta có: $x\in \left( -2; 2020 \right].$ Vậy có $2022$ nghiệm nguyên.
Đáp án C.