Có bao nhiêu $m$ nguyên dương để bất phương trình...

Xét BPT: ${{3}^{2x+2}}-{{3}^{x}}\left( {{3}^{m+2}}+1 \right)+{{3}^{m}}<0$ (*)
$\Leftrightarrow \left( {{3}^{2x+2}}-{{3}^{x}}{{.3}^{m+2}} \right)-\left( {{3}^{x}}-{{3}^{m}} \right)<0$
$\Leftrightarrow {{9.3}^{x}}\left( {{3}^{x}}-{{3}^{m}} \right)-\left( {{3}^{x}}-{{3}^{m}} \right)<0$
$\Leftrightarrow \left( {{9.3}^{x}}-1 \right)\left( {{3}^{x}}-{{3}^{m}} \right)<0$
+TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& {{9.3}^{x}}-1<0 \\
& {{3}^{x}}-{{3}^{m}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x<-2 \\
& x>m \\
\end{aligned} \right.$
Do $m>0$ nên trường hợp 1 loại.
+TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& {{9.3}^{x}}-1>0 \\
& {{3}^{x}}-{{3}^{m}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -2<x<m$
Do BPT (*) có không quá $30$ nghiệm nguyên và $m>0$ nên $0<m\le 29$.
Vậy có $29$ giá trị $m$ nguyên dương thỏa mãn đề bài.