Có bao nhiêu giá trị thực của $y$ để với mỗi $y$ tồn tại đúng 2 giá trị thực của $x$ sao cho $\ln \left( 4{{x}^{2}} \right)=xy+y$ ?

Phương pháp:
- Coi phương trình $\ln \left( 4{{x}^{2}} \right)=xy+y$ là phương trình ẩn $x$ tham số $y.$ Cô lập $y,$ đưa phương trình về dạng $y=f\left( x \right).$
- Lập BBT hàm số $f\left( x \right),$ sử dụng tương giao tìm số nghiệm của phương trình.
Cách giải:
ĐKXĐ: $4{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow x\ne 0.$
Coi phương trình $\ln \left( 4{{x}^{2}} \right)=xy+y$ là phương trình ẩn $x$ tham số $y.$
Ta có $pt\Leftrightarrow \ln \left( 4{{x}^{2}} \right)=y\left( x+1 \right).$
Với $x=-1\Rightarrow \ln 4=0$ (vô lí) $\Rightarrow x\ne -1.$
$\Rightarrow y=\dfrac{\ln \left( 4{{x}^{2}} \right)}{x+1}=f\left( x \right).$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{\ln \left( 4{{x}^{2}} \right)}{x+1}$ với $x\ne 1,x\ne 0$ ta có $f'\left( x \right)=\dfrac{\dfrac{8x}{4{{x}^{2}}}\left( x+1 \right)-\ln \left( 4{{x}^{2}} \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{2+\dfrac{2}{x}-\ln \left( 4{{x}^{2}} \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.$
Cho $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2+\dfrac{2}{x}-\ln \left( 4{{x}^{2}} \right)=0.$
Tiếp tục xét hàm số $g\left( x \right)=2+\dfrac{2}{x}-\ln \left( 4{{x}^{2}} \right)$ ta có $g'\left( x \right)=-\dfrac{2}{{{x}^{2}}}-\dfrac{2}{x}=\dfrac{-2-2x}{{{x}^{2}}},g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-1.$

Dựa vào BBT ta thấy $g\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất $x=a>0$ và với $\left\{ \begin{aligned}
& x>a\Rightarrow g\left( x \right)<0 \\
& 0<x<a\Rightarrow g\left( x \right)>0 \\
& x<0\Rightarrow g\left( x \right)<0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow f\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất $x=a>0.$
BBT hàm số $f\left( x \right)$ như sau:

Do đó để phương trình $y=\dfrac{\ln \left( 4{{x}^{2}} \right)}{x+1}=f\left( x \right)$ có đúng hai nghiệm thì $\left[ \begin{aligned}
& y=0 \\
& y=f\left( a \right) \\
\end{aligned} \right..$
Vậy có 1 giá trị thực của $y$ thỏa mãn.