Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để trên tập số phức, phương trình ${{z}^{2}}+2mz+{{m}^{2}}-m-2=0$, có hai nghiệm ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\sqrt{10}$ ?
A. $3\cdot $
B. $4\cdot $
C. $2\cdot $
D. $6\cdot $
A. $3\cdot $
B. $4\cdot $
C. $2\cdot $
D. $6\cdot $
Ta có: ${\Delta }'=m+2$.
Theo Vi-et: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-2m \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}-m-2 \\
\end{aligned} \right.$.
TH1: ${\Delta }'=0\Leftrightarrow m=-2$ thay vào phương trình ta được ${{z}^{2}}-4z+4=0\Leftrightarrow {{z}_{1}}={{z}_{2}}=2$.
( Không thỏa mãn điều kiện).
TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>-2$ khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ giả sử ${{z}_{1}}< {{z}_{2}}$.
+ Nếu ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}-m-2<0\Leftrightarrow -1<m<2$ khi đó:
$\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\sqrt{10}\Leftrightarrow {{z}_{2}}-{{z}_{1}}=2\sqrt{10}\Leftrightarrow 2\sqrt{{{\Delta }'}}=2\sqrt{10}\Leftrightarrow \sqrt{m+2}=\sqrt{10}\Leftrightarrow m=8$ (loại).
+ Nếu ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}-m-2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-1 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right. $ kết hợp điều kiện ta xét $ \left[ \begin{aligned}
& -2<m<-1 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right.$
$\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\sqrt{10}\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{2}}+{{z}_{1}} \right)}^{2}}=40\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}=40\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{10}$ so sánh điều kiện $m=-\sqrt{10}$ loại
Vậy $m=\sqrt{10}$ thỏa mãn.
+ Nếu ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}-m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$ không thỏa mãn.
TH3: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<-2$, phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}}=x+yi$ và ${{z}_{2}}=x-yi$ (với $x, y\in \mathbb{R}$ )
$\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\sqrt{10}\Leftrightarrow 2\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=2\sqrt{10}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10$
Mà ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}-m-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{m}^{2}}-m-2\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-2=10\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
So sánh điều kiện chọn $m=-3$.
Vậy tập các giá trị $m$ thỏa mãn đề bài là $\left\{ -3;\sqrt{10} \right\}$.
Theo Vi-et: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-2m \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}-m-2 \\
\end{aligned} \right.$.
TH1: ${\Delta }'=0\Leftrightarrow m=-2$ thay vào phương trình ta được ${{z}^{2}}-4z+4=0\Leftrightarrow {{z}_{1}}={{z}_{2}}=2$.
( Không thỏa mãn điều kiện).
TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>-2$ khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ giả sử ${{z}_{1}}< {{z}_{2}}$.
+ Nếu ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}-m-2<0\Leftrightarrow -1<m<2$ khi đó:
$\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\sqrt{10}\Leftrightarrow {{z}_{2}}-{{z}_{1}}=2\sqrt{10}\Leftrightarrow 2\sqrt{{{\Delta }'}}=2\sqrt{10}\Leftrightarrow \sqrt{m+2}=\sqrt{10}\Leftrightarrow m=8$ (loại).
+ Nếu ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}-m-2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-1 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right. $ kết hợp điều kiện ta xét $ \left[ \begin{aligned}
& -2<m<-1 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right.$
$\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\sqrt{10}\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{2}}+{{z}_{1}} \right)}^{2}}=40\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}=40\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{10}$ so sánh điều kiện $m=-\sqrt{10}$ loại
Vậy $m=\sqrt{10}$ thỏa mãn.
+ Nếu ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}-m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$ không thỏa mãn.
TH3: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<-2$, phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}}=x+yi$ và ${{z}_{2}}=x-yi$ (với $x, y\in \mathbb{R}$ )
$\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2\sqrt{10}\Leftrightarrow 2\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=2\sqrt{10}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10$
Mà ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{m}^{2}}-m-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{m}^{2}}-m-2\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-2=10\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
So sánh điều kiện chọn $m=-3$.
Vậy tập các giá trị $m$ thỏa mãn đề bài là $\left\{ -3;\sqrt{10} \right\}$.
Đáp án C.