Có bao nhiêu giá trị thực của m để hàm số $y=m{x}^9+(m^2-3m+2)x^6+(2m^3-m^2-m)x^4+m$...

Phương pháp giải:
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có:
$y^{\prime }=9m{x}^8+6(m^2-3m+2)x^5+4(2m^3-m^2-m)x^3$
$y^{\prime }=x^3[9m{x}^5+6(m^2-3m+2)x^2+4(2m^3-m^2-m)]$
Cho $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\left(nghiemboi3\right)\\ 9m{x}^5+6(m^2-3m+2)x^2+4(2m^3-m^2-m)=0(\ast )\end{array}$
Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $x=0$ phải là nghiệm bội chẵn của phương trình $y^{\prime }=0$, do đó phương trình (*) phải nhận $x=0$ là nghiệm bội lẻ.
Vì $x=0$ là nghiệm của (*) nên thay x=0x=0 vào phương trình (*) ta có:
$2m^3-m^2-m=0\iff [\begin{array}{l}m=1\\ m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ m=0\end{array}$
Thử lại:
+ Với $m=0$ ta có $y^{\prime }=12x^5$ không thỏa mãn $y^{\prime }\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.
+ Với $m=1$ ta có $y^{\prime }=9x^8\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
+ Với $m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ ta có $y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{9}{2}}{x}^8+{\displaystyle \frac{45}{2}}{x}^5=-{\displaystyle \frac{9}{2}}{x}^5(x^3-5)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\sqrt[3]{5}\end{array}$, do đó không thỏa mãn $y^{\prime }\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$
Vậy có duy nhất 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m=1$.