Có bao nhiêu giá trị thực của m để hàm số $y=m{{x}^{9}}+\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right){{x}^{6}}+\left( 2{{m}^{3}}-{{m}^{2}}-m \right){{x}^{4}}+m$...

Phương pháp giải:
Giải chi tiết:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có:
${y}'=9m{{x}^{8}}+6\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right){{x}^{5}}+4\left( 2{{m}^{3}}-{{m}^{2}}-m \right){{x}^{3}}$
${y}'={{x}^{3}}\left[ 9m{{x}^{5}}+6\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right){{x}^{2}}+4\left( 2{{m}^{3}}-{{m}^{2}}-m \right) \right]$
Cho ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0\left( nghiemboi3 \right) \\
9m{{x}^{5}}+6\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right){{x}^{2}}+4\left( 2{{m}^{3}}-{{m}^{2}}-m \right)=0\left( * \right) \\
\end{array} \right.$
Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $x=0$ phải là nghiệm bội chẵn của phương trình ${y}'=0$, do đó phương trình (*) phải nhận $x=0$ là nghiệm bội lẻ.
Vì $x=0$ là nghiệm của (*) nên thay x=0x=0 vào phương trình (*) ta có:
$2{{m}^{3}}-{{m}^{2}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m=1 \\
m=-\dfrac{1}{2} \\
m=0 \\
\end{array} \right.$
Thử lại:
+ Với $m=0$ ta có ${y}'=12{{x}^{5}}$ không thỏa mãn ${y}'\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$.
+ Với $m=1$ ta có ${y}'=9{{x}^{8}}\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
+ Với $m=-\dfrac{1}{2}$ ta có ${y}'=-\dfrac{9}{2}{{x}^{8}}+\dfrac{45}{2}{{x}^{5}}=-\dfrac{9}{2}{{x}^{5}}\left( {{x}^{3}}-5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=\sqrt[3]{5} \\
\end{array} \right. $, do đó không thỏa mãn $ {y}'\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$
Vậy có duy nhất 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m=1$.