Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\!\![\!\!-10;10]$ của tham số $m$ để hàm số $y=-\dfrac{3}{2}{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-(3m+10)x+{{m}^{2}}+1$ nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$ ?
A. $14$.
B. $13$.
C. $12$.
D. $11$.
A. $14$.
B. $13$.
C. $12$.
D. $11$.
Ta có $y=-\dfrac{3}{2}{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-(3m+10)x+{{m}^{2}}+1\Rightarrow {y}'=-6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-3m-10$.
Theo yêu cầu bài toán ta phải có: ${y}'\le 0; \forall x\in \left( 0;+\infty \right)$, dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.
${y}'\le 0, \forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow - 6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-3m-10\le 0, \forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow 3m\ge - 6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-10, \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \left( * \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=-6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-10$ xác định và liên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=-18{{x}^{2}}+12x$ ; ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
$\Rightarrow \underset{(0;+\infty )}{\mathop{\text{Max}}} g(x)=g\left( \dfrac{2}{3} \right)=-\dfrac{82}{9}$.
Từ (*) $\Rightarrow 3m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)$ hay $3m\ge -\dfrac{82}{9}\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{82}{27}$.
Vậy các giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\!\![\!\!-10;10]$ là $m\in \!\!\{\!\!-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\!\!\}\!\!$ $\Rightarrow $ Có 14 giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.
Theo yêu cầu bài toán ta phải có: ${y}'\le 0; \forall x\in \left( 0;+\infty \right)$, dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.
${y}'\le 0, \forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow - 6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-3m-10\le 0, \forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow 3m\ge - 6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-10, \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \left( * \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=-6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-10$ xác định và liên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=-18{{x}^{2}}+12x$ ; ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
$\Rightarrow \underset{(0;+\infty )}{\mathop{\text{Max}}} g(x)=g\left( \dfrac{2}{3} \right)=-\dfrac{82}{9}$.
Từ (*) $\Rightarrow 3m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)$ hay $3m\ge -\dfrac{82}{9}\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{82}{27}$.
Vậy các giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\!\![\!\!-10;10]$ là $m\in \!\!\{\!\!-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\!\!\}\!\!$ $\Rightarrow $ Có 14 giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án A.