Có bao nhiêu giá trị nguyên $m\in \left[ -2021;2021 \right]$ để phương trình sau: ${{2}^{x-\dfrac{m}{10}}}={{\log }_{2}}x+\dfrac{m}{10}$ có nghiệm...

Điều kiện: $x>0.$
${{2}^{x-\dfrac{m}{10}}}={{\log }_{2}}x+\dfrac{m}{10}\Leftrightarrow {{2}^{x-\dfrac{m}{10}}}+x-\dfrac{m}{10}={{\log }_{2}}x+x\Leftrightarrow {{2}^{x-\dfrac{m}{10}}}+\left( x-\dfrac{m}{10} \right)={{2}^{{{\log }_{2}}x}}+{{\log }_{2}}x.$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t\left( t\in \mathbb{R} \right).$
$f'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Suy ra $f\left( x-\dfrac{m}{10} \right)=f\left( {{\log }_{2}}x \right)\Leftrightarrow x-\dfrac{m}{10}={{\log }_{2}}x.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=x-{{\log }_{2}}x$ với $x\in \left( 0;+\infty \right).$
Ta có BBT như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi $\dfrac{m}{10}\ge g\left( \dfrac{1}{\ln 2} \right)\Leftrightarrow m\ge 10.g\left( \dfrac{1}{\ln 2} \right).$
Mà $m\in \mathbb{Z};m\in \left[ -2021;2021 \right].$ Suy ra: $m\in \left\{ 10;11;....;2021 \right\}$ có 2012 giá trị thỏa mãn.