Có bao nhiêu giá trị nguyên $m\in \left[ 0;100 \right]$ để bất...

Biến đổi đề bài
${{2}^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}}-{{2}^{x+1}}>1-{{2}^{x-2}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{x-2}}{{.2}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+{{2}^{x-2}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m \right)-{{2}^{x-2}}{{.2}^{3}}>1$
$\Leftrightarrow {{2}^{x-2}}\left[ {{2}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m \right)-{{2}^{3}} \right]>1$
$\Leftrightarrow {{2}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x-8 \right)+m-3x>{{2}^{2-x}}$
$\Leftrightarrow {{2}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+m-3x>{{2}^{2-x}}+{{\left( 2-x \right)}^{3}} \left( * \right)$.
Xét hàm số $f(t)={{2}^{t}}+{{t}^{3}}$.
Tập xác định: $D=R$.
${f}'={{2}^{t}}\ln 2+3{{t}^{2}}>0, \forall t\in R$. Do đó, hàm số $f(t)$ đồng biến trên $R$.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( \sqrt[3]{m-3x} \right)>f\left( 2-x \right)\Leftrightarrow \sqrt[3]{m-3x}>2-x\Leftrightarrow m>-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+8$.
Xét hàm số $g(x)=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x+8$.
Tập xác định: $D=R$.
${g}'(x)=-3{{x}^{2}}+12x-9$.
${g}'(x)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+12x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $\left( * \right)$ có 3 nghiệm phân biệt khi $m>8$.
Vậy có 92 số thỏa mãn.