Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để hàm số $y=\left( m+2 \right){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx-6$ có hai điểm cực trị
A. 1.
B. 4.
C. vô số.
D. 2.
A. 1.
B. 4.
C. vô số.
D. 2.
Tập xác định $D=\mathbb{R}.$
Nếu $m=-2$ thì $y=3{{x}^{2}}-2x-6$ là hàm số bậc hai nên không thể có hai điểm cực trị.
Xét $m\ne -2$ lúc đó $y=\left( m+2 \right){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx-6$ là hàm số bậc ba, hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Ta có $y'=3\left( m+2 \right){{x}^{2}}+6x+m,$ phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta '>0$
$\Leftrightarrow 9-3m\left( m+2 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3<0\Leftrightarrow -3<m<1.$
Vậy tập các giá trị $m$ để hàm số có hai điểm cực trị là $m\in \left( -3;1 \right)\backslash \left\{ -2 \right\}$. Do đó có tất cả là 2 số nguyên để hàm số $y=\left( m+2 \right){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx-6$ có hai điểm cực trị là $m=-1$ và $m=0.$
Nếu $m=-2$ thì $y=3{{x}^{2}}-2x-6$ là hàm số bậc hai nên không thể có hai điểm cực trị.
Xét $m\ne -2$ lúc đó $y=\left( m+2 \right){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx-6$ là hàm số bậc ba, hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Ta có $y'=3\left( m+2 \right){{x}^{2}}+6x+m,$ phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta '>0$
$\Leftrightarrow 9-3m\left( m+2 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3<0\Leftrightarrow -3<m<1.$
Vậy tập các giá trị $m$ để hàm số có hai điểm cực trị là $m\in \left( -3;1 \right)\backslash \left\{ -2 \right\}$. Do đó có tất cả là 2 số nguyên để hàm số $y=\left( m+2 \right){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx-6$ có hai điểm cực trị là $m=-1$ và $m=0.$
Đáp án D.