Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để hàm số $y=\dfrac{mx+9}{x+m}$...

Ta có ${y}'=\dfrac{{{m}^{2}}-9}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}, \forall x\ne -m$.
• Xét $m=\pm 3$ :
Khi đó ${y}'=0, \forall x\ne -m$ nên hàm số đã cho là hàm hằng trên các khoảng xác định. Suy ra $m=\pm 3$ không thỏa mãn.
• Xét $m\ne \pm 3$ :
Khi đó hàm số $y=\dfrac{mx+9}{x+m}$ nghịch biến trên $\left( 2 ; +\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {y}'<0, \forall x\in \left( 2 ; +\infty \right) \\
& -m\notin \left( 2 ; +\infty \right), \forall x\in \left( 2 ; +\infty \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-9<0 \\
& -m\le 2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -3 ; 3 \right) \\
& m\ge -2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow m\in \left[ -2 ; 3 \right)$.
Vậy có 5 giá trị nguyên $m$ thỏa mãn.