Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để bất phương trình $\log _{2}^{2}x-(2m+5)lo{{g}_{2}}x+{{m}^{2}}+5m+4<0$ có ít nhất một nghiệm nguyên và không quá 1791 nghiệm nguyên?
A. $10$.
B. $3$.
C. $9$.
D. $11$.
A. $10$.
B. $3$.
C. $9$.
D. $11$.
Điều kiện xác định của bất phương trình là $x>0$.
Đặt $t={{\log }_{2}}x~,~t\in \mathbb{R}~$.
Khi đó bất phương trình trở thành
${{t}^{2}}-\left( 2m+5 \right)t+{{m}^{2}}+5m+4<0$.
$\Leftrightarrow \left( t-m-1 \right)\left( t-m-4 \right)<0\Leftrightarrow m+1<t<m+4$
$\Leftrightarrow m+1<{{\log }_{2}}x<m+4\Leftrightarrow {{2}^{m+1}}<x<{{2}^{m+4}}$
Do ${{2}^{m+4}}-{{2}^{m+1}}={{14.2}^{m}}$, nên với $m\ge -3$ thì bất phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên.
Suy ra với $m\ge -3$ bất phương trình có ít nhất 1 nghiệm nguyên và không quá 1791 thì
${{14.2}^{m}}-1\le 1791\Leftrightarrow m\le {{\log }_{2}}\dfrac{1792}{14}=7$
Vậy $m\in \left\{ -3;-2;\ldots ;7 \right\}$ hay có 11 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.
Đặt $t={{\log }_{2}}x~,~t\in \mathbb{R}~$.
Khi đó bất phương trình trở thành
${{t}^{2}}-\left( 2m+5 \right)t+{{m}^{2}}+5m+4<0$.
$\Leftrightarrow \left( t-m-1 \right)\left( t-m-4 \right)<0\Leftrightarrow m+1<t<m+4$
$\Leftrightarrow m+1<{{\log }_{2}}x<m+4\Leftrightarrow {{2}^{m+1}}<x<{{2}^{m+4}}$
Do ${{2}^{m+4}}-{{2}^{m+1}}={{14.2}^{m}}$, nên với $m\ge -3$ thì bất phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên.
Suy ra với $m\ge -3$ bất phương trình có ít nhất 1 nghiệm nguyên và không quá 1791 thì
${{14.2}^{m}}-1\le 1791\Leftrightarrow m\le {{\log }_{2}}\dfrac{1792}{14}=7$
Vậy $m\in \left\{ -3;-2;\ldots ;7 \right\}$ hay có 11 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án D.