Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để bất phương trình $\log...

Điều kiện xác định của bất phương trình là $x>0$.
Đặt $t={\log }_{2}x,t\in \mathbb{R}$.
Khi đó bất phương trình trở thành
$t^2-(2m+5)t+m^2+5m+4<0$.
$\iff (t-m-1)(t-m-4)<0\iff m+1<t<m+4$
$\iff m+1<{\log }_{2}x<m+4\iff 2^{m+1}<x<2^{m+4}$
Do $2^{m+4}-2^{m+1}={14.2}^m$, nên với $m\ge -3$ thì bất phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên.
Suy ra với $m\ge -3$ bất phương trình có ít nhất 1 nghiệm nguyên và không quá 1791 thì
${14.2}^m-1\le 1791\iff m\le {\log }_2{\displaystyle \frac{1792}{14}}=7$
Vậy $m\in \{-3;-2;\dots ;7\}$ hay có 11 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.