Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $y$ để tập nghiệm của bất phương trình $\left( {{\log }_{2}}x-2 \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0$ có ít...

Điều kiện: $x>0.$
Ta có $\left( {{\log }_{2}}x-2 \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}x-2<0 \\
& {{2}^{x}}-y>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}x-2>0 \\
& {{2}^{x}}-y<0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x<4 \\
& x>{{\log }_{2}}y \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x>4 \\
& x<{{\log }_{2}}y \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
TH1. Nếu $\left\{ \begin{aligned}
& x<4 \\
& x>{{\log }_{2}}y \\
\end{aligned} \right.. $ Để bất phương trình có ít nhất 1 số nguyên và không quá 6 số nguyên thì $ -3\le {{\log }_{2}}y<3\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}\le y<8.$
Suy ra có 7 giá trị nguyên dương của $y$ thỏa mãn $\left( 1 \right).$
TH2. Nếu $\left\{ \begin{aligned}
& x>4 \\
& x<{{\log }_{2}}y \\
\end{aligned} \right.. $ Để bất phương trình có ít nhất 1 số nguyên và không quá 6 số nguyên thì $ 5<{{\log }_{2}}y\le 11\Leftrightarrow 32<y\le 2048.$
Suy ra có $\dfrac{2048-33}{1}+1=2016$ giá trị nguyên dương của $y$ thỏa mãn (2).
Từ (1), (2) suy ra có 2023 giá trị nguyên dương của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.