Có bao nhiêu giá trị nguyên dưong của tham số $m$ để phương trình...

Xét phương trình ${{16}^{x}}-{{2.12}^{x}}+(m-2){{9}^{x}}=0\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{2x}}-2{{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{x}}+m-2=0\left( 1 \right)$.
Đặt $t={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{x}}\left( t>0 \right)$. Phương trình trở thành ${{t}^{2}}-2t+m-2=0\left( 2 \right)$.Đặt $h\left( t \right)={{t}^{2}}-2t+m-2$
YCBT $\Leftrightarrow $ Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm dương $\Leftrightarrow $ Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm lớn hơn 1.
Ta có ${\Delta }'=3-m$.
+ ${\Delta }'=0\Leftrightarrow 3-m=0\Leftrightarrow m=3$ phương trình có nghiệm $t=1$. Vậy $m=3$ không thỏa mãn.
+ ${\Delta }'>0\Leftrightarrow 3-m>0\Leftrightarrow m<3$.
Để phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm lớn hơn 1 xảy ra 2 trường hợp
- Trường hợp 1: Phương trình $\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm Phương trình ${{t}_{1}},{{t}_{_{2}}}$ thỏa mãn $1\le {{t}_{1}}<{{t}_{_{2}}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& h\left( 1 \right)\ge 0 \\
& 1>1 \\
\end{aligned} \right.$ vô nghiệm.
- Trường hợp 2:Phương trình $\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm Phương trình ${{t}_{1}},{{t}_{_{2}}}$ thỏa mãn ${{t}_{1}}<1<{{t}_{_{2}}}$
$\Leftrightarrow h\left( 1 \right)<0\Leftrightarrow m<3$.Mà $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2 \right\}$. Vậy có $2$ giá trị nguyên của tham số $m$.