Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình ${{9}^{x}}-{{2.6}^{x+1}}+\left(m-3 \right){{. 4}^{x}}=0$ có hai nghiệm phân biệt?

Ta có :
Đặt Phương trình (1) được viết lại:
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương.
Xét hàm số trên khoảng
Ta có
Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương khi
Vậy có 35 giá trị nguyên dương của thỏa mãn yêu cầu bài toán.