Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình ${{9}^{x}}-{{2.6}^{x+1}}+\left(m-3 \right){{. 4}^{x}}=0$ có hai nghiệm phân biệt?
A. $35.$
B. $38.$
C. $34.$
D. $33.$
A. $35.$
B. $38.$
C. $34.$
D. $33.$
Ta có : ${{9}^{x}}-{{2.6}^{x+1}}+\left(m-3 \right){{. 4}^{x}}=0\Leftrightarrow {{\left(\frac{3}{2} \right)}^{2x}}-12{{\left(\frac{3}{2} \right)}^{x}}=3-m \left(1 \right)$
Đặt $t={{\left(\frac{3}{2} \right)}^{x}}, t>0.$ Phương trình (1) được viết lại: ${{t}^{2}}-12t=3-m \left(* \right).$
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương.
Xét hàm số $f\left(t \right)={{t}^{2}}-12t$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
Ta có ${f}'\left(t \right)=2t-12, {f}'\left(t \right)=0\Leftrightarrow t=6.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương khi $-36<3-m<0\Leftrightarrow 3<m<39.$
Vậy có 35 giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt $t={{\left(\frac{3}{2} \right)}^{x}}, t>0.$ Phương trình (1) được viết lại: ${{t}^{2}}-12t=3-m \left(* \right).$
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương.
Xét hàm số $f\left(t \right)={{t}^{2}}-12t$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
Ta có ${f}'\left(t \right)=2t-12, {f}'\left(t \right)=0\Leftrightarrow t=6.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương khi $-36<3-m<0\Leftrightarrow 3<m<39.$
Vậy có 35 giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.