Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số ${m}$ để hàm số ${y=\left|x^4-2mx^2+64x \right|}$ có đúng ba điểm cực trị?
A. ${5}$.
B. ${6}$.
C. ${12}$.
D. ${11}$.
A. ${5}$.
B. ${6}$.
C. ${12}$.
D. ${11}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+64x$ $\Rightarrow {f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4mx+64$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4mx+64=0$ $\Rightarrow m={{x}^{2}}+\dfrac{16}{x}$.
Đặt $g\left( x \right)={{x}^{2}}+\dfrac{16}{x}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2x-\dfrac{16}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=2$.
Bảng biên thiên
Xét phương trình $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+64x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{3}}-2mx+64=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra ${{x}^{3}}-2mx+64=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{32}{x}$.
Đặt $h\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{32}{x}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=x-\dfrac{32}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {h}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=2\sqrt[3]{4}$.
Bảng biên thiên
Nhận xét: Số cực trị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ bằng số cực trị hàm số $y=f\left( x \right)$ và số nghiệm bội lẻ của phương trình $f\left( x \right)=0$.
Do đó yêu cầu bài toán suy ra hàm số $y=f\left( x \right)$ có 1 cực trị và phương trình $f\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm bội lẻ $\left\{ \begin{aligned}
& m\le 12 \\
& m\le 12\sqrt[3]{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le 12$.
Vì tham số ${m}$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12 \right\}$.
Vậy có 12 giá trị nguyên dương của tham số ${m}$ thoả mãn.
Ta có ${f}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4mx+64=0$ $\Rightarrow m={{x}^{2}}+\dfrac{16}{x}$.
Đặt $g\left( x \right)={{x}^{2}}+\dfrac{16}{x}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2x-\dfrac{16}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=2$.
Bảng biên thiên
& x=0 \\
& {{x}^{3}}-2mx+64=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra ${{x}^{3}}-2mx+64=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{32}{x}$.
Đặt $h\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{32}{x}\Rightarrow {g}'\left( x \right)=x-\dfrac{32}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {h}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=2\sqrt[3]{4}$.
Bảng biên thiên
Do đó yêu cầu bài toán suy ra hàm số $y=f\left( x \right)$ có 1 cực trị và phương trình $f\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm bội lẻ $\left\{ \begin{aligned}
& m\le 12 \\
& m\le 12\sqrt[3]{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le 12$.
Vì tham số ${m}$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12 \right\}$.
Vậy có 12 giá trị nguyên dương của tham số ${m}$ thoả mãn.
Đáp án C.