Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 2) x$ đồng biến trên khoảng $\left(...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

m

để hàm số

y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 2) x

đồng biến trên khoảng

(12; + \infty) ?

A. 10.
B. 0.
C. 13.
D. 11.

Tập xác định:

D = R

.

y^{'} = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 2)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m^{2} - 2 = 0.

Ta có:

Δ^{'} = 2 > 0, \forall m

nên

y^{'} = 0

luôn có hai nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2} .

\Rightarrow {\begin{aligned} x_{1} + x_{2} = 2 m \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} - 2 \end{aligned} .

Hàm số đồng biến trên

(12; + \infty) \Leftrightarrow x_{1} < x_{2} \leq 12

\Leftrightarrow {\begin{aligned} (x_{1} - 12) (x_{2} - 12) \geq 0 \\ \frac{x_{1} + x_{2}}{2} < 12 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x_{1} . x_{2} - 12 (x_{1} + x_{2}) + 144 \geq 0 \\ x_{1} + x_{2} < 24 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} m^{2} - 2 - 12.2 m + 144 \geq 0 \\ 2 m < 24 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m^{2} - 24 m + 142 \geq 0 \\ m < 12 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} [\begin{aligned} m \leq 12 - \sqrt{2} \\ m \geq 12 + \sqrt{2} \end{aligned} \\ m < 12 \end{aligned} \Leftrightarrow m \leq 12 - \sqrt{2} .

Do

m \in Z^{+} \Rightarrow m \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} .

Đáp án A.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y=x3−3mx2+3(m2−2)x đồng biến trên khoảng $\left(...