Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+\left( m+8 \right)x-m \right|$ có năm điểm cực trị?

Xét hàm số
Để hàm số có năm điểm cực trị thì hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.
Tức là đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Hay có ba nghiệm phân biệt.

có ba nghiệm phân biệt
Do là số nguyên dương nên có 14 số nguyên thỏa yêu cầu bài toán.