Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-\left( 2m-3 \right)x-m+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}?$

Phương pháp:
- Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y'\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
- Sử dụng: $a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& \Delta \le 0 \\
\end{aligned} \right..$
Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}.$
Ta có $y'={{x}^{2}}-2mx-2m+3.$
Hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-\left( 2m-3 \right)x-m+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y'\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx-2m+3\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1>0\left( luondung \right) \\
& \Delta '={{m}^{2}}+2m-3\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -3\le m\le 1$
Mà $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m=1.$
Vậy có 1 giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.